Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
GIÁO VIÊN: TH.S PHẠM VĂN QUÝ – 0943.911.606
1. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG SỬ DỤNG
1) a 2 + b 2 + c 2  ab + bc + ca , a, b, c  R .
a+b
2) a.b  
 , a, b  0
 2 
2

an + bn  a + b 

10)
 ,với a, b  0 , n  N * .
2
 2 
n

11) a + b + c
2

 a+b+c
3) a.b.c  
 , a, b  0
3



2

2

(a + b + c)

3

3

, a, b  R .

12) ( a + b + c )  3 ( ab + bc + ca ) , a, b  R
2

13) a3 + b3  ab ( a + b ) , a, b  0

1 1
4) ( a + b )  +   4 , a, b > 0
a b

5)

2

14) a 4 + b 4  ab ( a 2 + b 2 ) , a, b  0

1 1
4
, a, b > 0
+ 
a b a+b

15) a5 + b5  a2b2 ( a + b ) , a, b  0

1 1 1
6) ( a + b + c )  + +   9 , a, b, c > 0
a b c

3( a + b )
, a, b  R
16) a + ab + b 
4

1 1 1
9
7) + + 
, a, b > 0
a b c a+b+c

17)

a2 + b2  a + b 

8)
 , a, b  R.
2
 2 

18) (1 + a)(1 + b)  1 + ab , a, b  0

2

a 2 − ab + b2 1
 , a, b  R, a 2 + b2  0
2
2
a + ab + b
3

(

2

)

2

(

)

3

19) (1

Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ trong chứng minh bất đẳng thức

Sản phẩm của nhóm: TOÁN TIỂU HỌC-THCS-THPT- VIỆT NAM

Chuyên Đề Toán Thực Tế

DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ HÌNH HỌC
Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Bài 1.

Hằng ngày hai anh em An và Bình cùng đi bộ từ nhà ở A để đến trường. Trường của An ở vị
trí B , trường của Bình ở vị trí C theo hai hướng vuông góc với nhau. An đi với vận tốc
4km / h và đến trường sau 15 phút. Bình đi với vận tốc 3km / h và đến trường sau 12
phút.Tính khoảng cách BC giữa hai trường (làm tròn đến mét).

Bài 2.

Một người A đang ở trên khinh khí cầu ở độ cao 150m nhìn thấy một vật B trên mặt đất cách
hình chiếu của khí cầu xuống đất một khoảng 285m . Tính góc hạ của tia AB . Nếu khinh khí
cầu tiếp tục bay lên thẳng đứng thì khi góc hạ của tia AB là 46 thì độ cao của khinh khí cầu
là bao nhiêu? (làm tròn đến mét).

Bài 3.

Một người có mắt cách mặt đất 1, 4m , đứng cách tháp Eiffel 400m nhìn thấy đỉnh tháp với góc
nâng 39 . Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét).

Sản

69 bài toán thực tế về hình học có đáp án và lời giải

                                    x  y  O     b 2      4 ac  CHỦ ĐỀ TUYỂN SINH CHỦ ĐỀ TUYỂN SINH   10  2022 - 2023  TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ   Giáo viên:      L   CHỦ ĐỀ TUYỂN SINH 10  MỤC LỤC MỤC LỤC  MỤC LỤC  Bài 1.   Căn bậc hai, căn bậc ba   4  |   Dạng 1.1: Tính giá trị biểu thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   4  |   Dạng 1.2: Rút gọn biểu thức và tính giá trị   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   4  Bài 2.   Bài toán hàm số bậc nhất-bậc hai   6  |   Dạng 2.1: Giải bài toán tương giao giữa   ( P   ) ,   ( D )   bằng phép toán và đồ thị   . . . . . . . . . . . . . . .   6  |   Dạng 2.2: Bài toán tương giao giữa   ( P   )   và   ( D )   có chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   9  Bài 3.   Phương trình bậc 2-Định lý Vi-et   9  |   Dạng 3.1: Tính giá trị biểu thức bằng định lí vi-et.   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   9  |   Dạng 3.2: Giải phương trình bậc 2 chứa tham số bằng công thức Vi-et   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   11  Bài 4.   Bài toán thực tế-suy luận   14  |   Dạng 4.1: Bài toán CAN-CHI   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   14  |   Dạng 4.2: Bài toán xác định năm nhuận DƯƠNG, nhuận ÂM   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   15  |   Dạng 4.3: Bài toán xác định thứ, ngày, tháng trong năm   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   16  |   Dạng 4.4: Bài toán xác định múi giờ trái đất   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   17  |   Dạng 4.5: Bài toán thi đấu thể thao   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   18  |   Dạng 4.6: Bài toán xác định chỉ số sinh học của con người   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   18  |   Dạng 4.7: Bài toán về mua bán, kinh doanh sản phẩm tiêu dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   19  |   Dạng 4.8: Các bài toán tính phần tử trong tập hợp   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   20  |   Dạng 4.9: Các dạng toán suy luận   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   21  Bài 5.   Bài toán thực tế-ứng dụng hàm số   22  |   Dạng 5.1: Bài toán cho sẵn hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   22  |   Dạng 5.2: Tìm hệ số a, b trong hàm số bậc nhất mô tả các đại lượng bài toán   . . . . . . . . . .   23  |   Dạng 5.3: Lập hàm số mô tả các đại lượng trong bài toán thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   28  |   Dạng 5.4: Cho sẵn hàm số mô tả đại lượng bài toán, tìm y biết x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   31  Bài 6.   Bài toán thực tế-Tỉ lệ phần trăm   33  |   Dạng 6.1: Bài toán lời lỗ trong kinh doanh, giảm và tăng sản phẩm   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   33  |   Dạng 6.2: Bài toán kinh doanh có tính thuế sản phẩm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |   Dạng 6.3: Bài toán kinh doanh khuyến mãi sản phẩm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   35  |   Dạng 6.4: Bài toán tính lương, thu nhập của công nhân   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   36  |   Dạng 6.5: Bài toán lãi suất ngân hàng   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   37  |   Dạng 6.6: Bài toán tỉ lệ học sinh   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   38  |   Dạng 6.7: Bài toán về dân số   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   38  |   Dạng 6.8: Bài toán tính trung bình, tính phần trăm hợp chất   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   39  Bài 7.   Giải toán bằng cách lập phương trình   41  |   Dạng 7.1: Lập hệ phương trình bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   41  |   Dạng 7.2: Lập phương trình bậc hai, một ẩn   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   42  Bài 8.   Giải toán đố bằng cách lập hệ phương trình   43  |   Dạng 8.1: Lập hệ phương trình hai ẩn bậc nhất   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   43  |   Dạng 8.2: Lập hệ phương trình hai ẩn giải bằng phương pháp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   45  |   Dạng 8.3: Lập hệ phương trình ba ẩn bậc nhất   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   46  2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO

Các chủ đề ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán

Tuy  n t  p câu h  i rút g  n và các bài toán liên quan   Trang   1  L  P TOÁN TH  Y THÀNH      NGÕ 58 NGUY  N KHÁNH TOÀN      0975.705.122  TUY  N T  P CÂU H  I  RÚT G  N VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN  LUY  N THI VÀO 10  Câu 1. (Thầy Nguyễn Chí Thành)   (Kh  o sát vòng 1 -       - Long Biên - 2019 - 2020 )  Cho bi  u th  c 3 2  =   +   x A   x   x   x   và 2 2  =     B   x   v  i 0  x   , 4  x   ; 9 4   x   .  a) Tính giá tr    bi  u th  c B   khi 25 = x   .  b) Bi  t : = P   B   A   . Ch  ng minh r  ng: 2   3  =     x P   x   .  c) Tìm giá tr    nguyên c  a x     P   nh  n giá tr    nguyên.  Hư  ng d  n  a) Khi 25 = x   , giá tr    c  a bi  u th  c B   là: 2   2 3 25   2   =    .  b) Ta có: 2   3 : 2   2      =   +                  x P   x   x   x   x (   )  2   3 : 2   2          =   +              x x   x x   x (   ) (   ) (   )  3   2 2   : 2   2   2           =   +                 x x x   x   x   x   x (   )  2   4   6 : 2   2           =                x x   x   x (   ) (   )  2 2   . 2   2 2   3   =        x   x x   x 2   3  =     x x  .  c) Ta có 1 3 2   3   2  =   =      x P   x x   (Vì 0   0        x   x   ). P  nh  n giá tr    nguyên khi và ch    khi 1 3 2   x     nguyên 3 2   x            ( )  1      1;   1 =      .  Khi đó 1 P   =   ho  c 1 P   = −   .  V  i 3 1   2   1 P   x  =         = 3   9 x   x    =      =   (th  a mãn).  V  i 3 1   2   1 P   x  = −         = − 1   1 x   x    =      =   (th  a mãn).  V  y      1; 9  x   thì P   nh  n giá tr    nguyên.  Cách khác:Tuy  n t  p câu h  i rút g  n và các bài toán liên quan   Trang   2  L  P TOÁN TH  Y THÀNH      NGÕ 58 NGUY  N KHÁNH TOÀN      0975.705.122      P nguyên thì (   )   (   )  2   3   2   2   3 x   x   x   x         Mà (   ) (   )   (   )   (   )   (   )  2   3   2   3   2   3   2   2   3   3   2   3 x   x   x   x   x   x                        Suy ra (   )  2   3 x          (   )        3   1;   3    =         . Gi  i r  i th    l  i đi  u ki  n và k  t lu  n.  Câu 2. (Thầy Nguyễn Chí Thành)   Trung tâm B  i dư  ng Văn hóa Hà N  i      Amsterdam 07/6/2020  Cho bi  u th  c: 2   3   1 . 1 1   4  x   x   x   x   x   x M   x x   x   x   x   x   x   x      +   +           =   +                   +      +           v  i 0,   1 x   x       .  a) Rút g  n M   .  b) Tính giá tr    c  a M   khi 7   4   3 x   =   +   .  c) Tìm x   th  a mãn (   )  3 .   1 x   x   M       =   .  Hư  ng d  n  a) Rút g  n M   .    u ki  n xác đ  nh: 0,   1 x   x     2   3   1 . 1 1   4      +   +           =   +                   +      +          x   x   x   x   x   x M   x x   x   x   x   x   x   x (   )   (   )(   ) (   )(   ) (   )  1   1 2   3   . 1 1   1   1   4           + +   +        =   +        +       +      +      x   x x   x   x   x   x M   x x   x   x   x   x   x   x (   )(   )   (   )   (   ) (   )(   ) (   )(   ) (   )  1   .   1   2   3   1   1 . 1   1   4  +   +   +         +         + =      +      +  x   x   x   x   x   x   x   x   x   x   x M   x   x   x   x   x   x (   )  2   2   3   1 .   4  +   +   +            + =      +  x   x   x   x   x   x   x   x   x   x   x M   x   x   x   x (   )  4 4     + =      +  x   x   x   x M   x x   x (   ) (   )  4 4     + =      +  x   x   x M   x x   x 1  = M   x  . V  y: ...........  b) Tính giá tr    c  a M   khi 7   4   3 x   =   +   .  Thay (   )  2  7   4   3   2   3 x   =   +   =   +   (th  a mãn 0,   1 x   x       ) vào M   ta đư  c:

200 bài tập rút gọn biểu thức và bài toán liên quan trong đề thi vào 10 môn Toán

L  P TOÁN TH  Y THÀNH      NGÕ 58 NGUY  N KHÁNH TOÀN      0975 .705.122  TUY  N T  P  400 BÀI TOÁN HÌNH  TRONG Đ    THI VÀO 10  CÓ ĐÁP ÁNL  P TOÁN TH  Y THÀNH      NGÕ 58 NGUY  N KHÁNH TOÀN      0975 .705.122  PH  N         TUY  N T  P CÁC BÀI TOÁN HÌNH    Câu 1.(Thầy Nguyễn Chí Thành)   Cho đư  ng tròn (   )  O   và đư  ng kính 2   10 AB   R   cm =   =   . G  i C   là trung    m OA   , Qua C   k    dây MN   vuông góc v  i OA   t  i C   . G  i K   là đi  m tùy ý trên   cung nh  MB   , H  là giao đi  m AK   và MN   . Ch  ng minh:  a) T    giác BHCK   n  i ti  p, AMON   là hình thoi  b) 2  . AK AH   R =   và tính di  n tích hình qu  t tao b  i OM   , OB   và cung MB  c) Trên KN   l  y I   sao cho KI   KM =   , c h  ng minh NI   KB =  d) Tìm v    trí đi  m K       chu vi tam giác MKB   l  n nh  t.  Hư  ng d  n  a) T    giác BHCK   n  i ti  p, AMON   là hình thoi  Vì K   n  m trên đư  ng tròn tâm (   )  O     ng kính AB   nên 90 AKB   =    90 (   ) HKB   H   AK    =       MN  vuông góc AB   (gt) nên 90   90 (   ) MCB   HCB   H   MN =      =        Ta có: 90   90   180 HCB   HKB +   =            .  Mà ; HCB HKB   là 2 góc đ  i nhau   c  a t    giác BHCK   T    giác BHCK   n  i ti  p (dhnb)  +) Xét (   )  O MN   là dây cung, AB   là đư  ng kính  Mà MN   vuông góc AB   t  i C   (gt)  Nên C   là trung đi  m MN   (liên h    gi  a đư  ng kính và dây cung)  Mà C   là trung đi  m OA   (gt)    T    giác AMON   là hình bình hành (dhnb)  Mà MN   vuông góc OA   (gt)    Nên AMON   là hình thoi (đpcm)  b) 2  . AK AH   R =   và tính di  n tích hình qu  t tao b  i OM   , OB   và cung MB  Xét AHC    và ABK    có: A  là góc chung 90 ACH   AKB =   =    AHC   ABK       (g - g) 2 1 .   .   2 . 2  AH   AC   AH AK   AB AC   R   R   R AB   AK     =      =   =   =   (đpcm)  Theo a) AMON   là hình thoi nên AM   MO   OA   R =   =   =  Ta có tam giác AMO     u 60 AMO    =    120 MOB    =      (tc k    bù)  *) 2   2  120 360   3  MOB  R   R S      =   =   , m  2   10 R   cm =   nên 5 R   cm =   . Do đó 25 3 MOB S   =  c) Trên KN   l  y I   sao cho KI   KM =   , ch  ng minh NI   KB = I  H  N  M  C   O  A   B  K

Tuyển tập 400 bài toán hình học trong các đề thi vào lớp 10 môn Toán

Tuy  n t  p câu h  i   gi  i bài toán b  ng cách l  p phương trình      h    phương trình   Trang   1  L  P TOÁN TH  Y THÀNH      NGÕ 58 NGUY  N KHÁNH TOÀN      0975.705.122  TUY  N T  P CÂU H  I  GI  I BÀI TOÁN B  NG CÁCH L  P PHƯƠNG TRÌNH      H    PHƯƠNG TRÌNH  LUY  N THI VÀO 10  Câu 1. (Thầy Nguyễn Chí Thành)   (Kh  o sát vòng 1 -       - Long Biên   - 2019 - 2020 )  M  t máy bơm theo k    ho  ch ph  i bơm đ  y nư  c vào m  t b    c  n có dung tích 50 3  m   trong m  t th  i  gian nh  t đ  nh. Ngư  i công nhân v  n hành máy đã cho máy bơm ho  t đ  ng v  i công su  t tăng thêm 5 3  m  /gi  , cho nên đã bơm đ  y b    s  m hơn quy đ  nh 1 gi    40 phút. H  i theo k    ho  ch, m  i gi    máy bơm ph  i  bơm đư  c bao nhiêu mét kh  i nư  c.  Hư  ng d  n  G  i công su  t d      nh c  a máy bơm là x   ( 3  m   /gi  , 0  x   )  Công su  t th  c t    là 5 + x   ( 3  m   /gi  )  Th  i gian bơm đ  y b    d      nh là 50  x   (gi  )  Th  i gian bơm đ  y b    th  c t    là 50 5 + x   (gi  )    i 1 gi    40 phút = 5 3   gi   Theo đ  u bài ta có phương trình: 50   50   5 5   3     = + x   x (   )   (   )  3 50   250   50   5   5    +      =   + x   x   x x 2  5   25   750   0    +      = x   x  .  Các em gi  i phương trình đư  c 10 (   ) 15 ( )  x   tm x   l  =     = −   V  y công su  t d      nh c  a máy   bơm là 10 3  m   /gi  .  Câu 2. (Thầy Nguyễn Chí Thành)   Trung tâm B  i dư  ng Văn hóa Hà N  i      Amsterdam 07/6/2020  H  i trư  ng 200   ch    c  a trư  ng THPT Chuyên Hà N  i      Amsterdam có đúng 200   gh      c chia đ  u  vào các dãy. Nh  m giãn cách xã h  i, trong đ  t phòng ch  ng d  ch COVID   - 19 đ    m  i dãy b  t đi 2   gh    mà  s    gh    trong h  i trư  ng không đ  i thì nhà trư  ng ph  i kê thêm 5   dãy như th    n  a. H  i ba n đ  u, s    gh   trong h  i trư  ng đư  c chia thành bao nhiêu dãy?  Hư  ng d  n  G  i s    dãy gh    ban đ  u là x   (gh  , x    N   ).  S    gh    trong m  t dãy ban đ  u là y   (dãy, y    N   ).  Vì s    gh    là 200   nên ta có: ( )  .   200 1 x y   =   .  M  i dãy b  t đi 2   gh    mà s    gh    trong h  i trư  ng không đ  i thì nhà trư  ng ph  i kê thêm 5   dãy như th   n  a nên ta có: (   )(   )   (   )  5   2   200 2 x   y +      =   .Tuy  n t  p câu h  i   gi  i bài toán b  ng cách l  p phương trình      h    phương trình   Trang   2  L  P TOÁN TH  Y THÀNH      NGÕ 58 NGUY  N KHÁNH TOÀN      0975.705.122  K  t h  p l  i ta có h    phương trình: (   )(   )  .   200   .   200 5   2   200   2   5   10   200  =    =          +      =      +      =       x y   x y x   y   xy   x   y 200 200 2   5   10   200 2.   5   10  x xy   y x   y   y y     =  =                +   =       +   =   2   2  200   200 400   5   10   5   10   400   0  x   x y   y y   y   y   y      =   =                    +   =         =      .  Các em gi  i h      c: (   ) (   ) (   )  20 10 8  x   TM y   TM y   Loai     =     =     = −     V  y ban đ  u h  i trư  ng có 20   dãy gh  .  Câu 3. (Thầy Nguyễn Chí Thành)   (HK2 - Amsterdam - 2019 - 2020)  M  t ca nô đi xuôi dòng 54 km   r  i quay ngư  c dòng 46 km   và t  ng th  i gian c      n v    là 4   gi  . N  u  ca nô đi xuôi dòng 81 km   và ngư  c dòng 23 km   thì t  ng th  i gian đi cũng h  t 4   gi  . Tính v  n t  c riêng  c  a ca nô và v  n t  c c  a dòng nư  c, bi  t các v  n t  c đó không đ  i.  Hư  ng d  n  1)   G  i v  n t  c riêng c  a Ca nô là x (km/h)   , 0  x  G  i v  n t  c c  a dòng nư  c là y   ( km/h)   ,  y   x  V  n t  c c  a ca nô khi đi   xuôi dòng là: + x   y (km/h)  V  n t  c c  a ca nô khi đi ngư  c dòng là   :  x   y (km/h)  Th  i gian Ca nô đi xuôi dòng 54 km   là: 54  + x   y ( ) h  Th  i gian ca nô đi ngư  c dòng 46 km   là: 46   x   y ( ) h  Vì ca nô đi xuôi dòng 54 km   và ngư  c dòng 46 km   thì h  t t  ng th  i gian là 4   gi    nên ta có phương  trình: 54   46   4 +   = +    x   y   x   y ( )  1  Th  i gian ca nô đi xuôi dòng 81 km   là: 81  + x   y ( ) h  Th  i gian ca nô đi ngư  c dòng 23 km   là: 23   x   y ( ) h

137 câu giải toán bằng cách lập PT – HPT trong đề thi vào lớp 10 môn Toán

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2   |  CHUYÊN Đ    S    H  C  A.   KiÕn thøc cÇn nhí  I .     1) Định nghĩa về ước và bội     S    t    nhiên   0 d       c g  c c  a s    t    nhiên   a   khi và ch    khi   a   chia h  t cho   d .   Ta nói   d   là ướ c c  a   a .  Nhận xét :   Tập hợp các ước của a là Ư   (   )   {   } :   | a   d   N   d   a =     Bội:   S    t    nhiên   m    c g  i là b  i c  a   0 a      khi và ch    khi   m   chia h  t cho   a   hay   a   là m  t   c s    m.  Nhận xét:   Tập hợp các bội của   a   (   ) 0 a      là   (   )   {   } 0; ;2 ;...;   , B a   a   a   ka   k   Z =     2) Tính chất:  -   S    0 là b  i c  a m  i s    nguyên khác 0. S    0 không ph  c c  a b  t kì s    nguyên nào. - Các s    1 và - 1 là ướ c c  a m  i s    nguyên.  -   Nếu      (   )   {   } 1; a   a =   thì a là số nguyên tố.  -   Số lượng các ước của một số   :   Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên   A   là   .   . x   y   z a   b   c   ... thì số lượng các ước của   A   bằng   (   )(   )(   ) 1   1   1 x   y   z +   +   +   ...  Thật vậy ước của   A   là số có dạng   mnp   ...trong đó:  m   có   1 x   +   cách chọn (là   2 1,   ,   ,   ,   x a   a   a ...   )  n   có   1 y   +   cách chọn (là   2 1,   ,   ,   ,   y b   b   b ...   )  p   có   1 z   +   cách chọn (là   2 1,   ,   ,   ,   z c   c   c ...   ),...  Do đó, số lượng các ước của   A   bằng   (   )(   )(   ) 1   1   1 x   y   z +   +   +  II. Ước   chung và   bội   chung  1) Định nghĩa     N  u hai t  p h  p    ng ph  n t    chung thì nh  ng ph  n t     c s    chung c  a   a   và b. Kí hi   CH       1   CÁC BÀI TOÁN V    C VÀ B  I  5 |   CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC|   CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI  CHINH PH  C K    THI H  C SINH GI  I C  P HAI  Nhận xét:   Nếu ƯC   (   )   { } ;   1 a b   =   thì   a   và   b   nguyên tố cùng   nhau.     S    d   N     c g  c s    chung l  n nh  t c  a   a   và   b  (   ) ; a b   Z    khi   d   là ph  n t    l  n nh  t trong t  p h  . Kí hi  u    c chung l  n nh  t c  a   a   và   b   là    a; b ) ho  a;b ) ho  c   gcd(a;b).  Bội chung (BC):   N  u hai t  p h  ng ph  n t    chung thì nh  ng ph  n t    i là b  i s    chung c  a   a   và   b . Kí hi   Bội chung nhỏ   nhất (BCNN):   S    0 m       c g  i là b  i chung nh    nh  t c  a   a   và   b   khi   m  là s    nh    nh  t khác 0 trong t  p h  u b  i chung nh    nh  t c  a   a   và   b   là  BCNN( a; b ) ho  c   [   ] ; a b   ho  c   lcm(a;b).  2)   Cách tìm ƯCLN và BCNN  a) Mu  a hai hay nhi  u s    l  c hi  c sau : 1. Phân tích m  i s    ra th  a s    nguyên t   2.- Ch  n ra các th  a s    nguyên t    chung 3.- L  p tích các th  a s     n, m  i th  a s    l  y v  i s    mũ nhỏ   nh  t c  a nó  Tích đó là ƯCLN phả i tìm .  Ví d  :   2 30   2.3.5,   20   2 .5 =   =         2.5   10. =   =  Chú ý :  - N  u các s       không có th  a s    nguyên t    chung thì ƯCLN củ a chúng là 1. - Hai hay nhi  u s    c  i là các s    nguyên t    cùng nhau. -   Trong các số đã cho , nếu số nhỏ nhất là ước các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy . b) Mu  n tìm BCNN c  a hai hay nhi  u s    l  c hi  c sau : 1- Phân tích m  i s    ra th  a s    nguyên t    . 2- Ch  n ra các th  a s    nguyên t    chung và riêng . 3- L  p tích các th  a s     n , m  i th  a s    l  y v  i s    mũ lớ n nh  t c  a chúng  Tích đó là BCNN phả i tìm .  Ví d  :   2 30   2.3.5,   20   2 .5 =   =      BCNN(30; 20)   2 2 .3.5   60 =   =  Chú ý:  - N  u các s     t nguyên t    cùng nhau thì BCNN c  a chúng là tích các s      Ví d    :   BCNN(5 ; 7 ; 8) = 5 . 7 . 8 = 280  - Trong các s     , n  u s    l  n nh  t là b  i c  a các s    c  i thì BCNN c  a các s      chính là s    l  n nh    Ví dụ   :   BCNN(12 ; 16 ; 48) = 48  3) Tính chất  Một số tính chất của ước chung lớn   nhất:  TỦ SÁCH CẤP 2 | 6

Các bài toán về ước và bội

ThS.Nguyễn Đăng Tuấn   Chuyên đề luyện thi vào lớp 10  Trang 1  HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ  I.   Hàm số bậc nhất  Bài 1.   TS Lớp 10 Bắc Giang 2017-2018  Tìm   m      2 y   x   m              2;3 K   .  Lời giải:  + Đồ thị hàm số   2 y   x   m          (2;3) K   3   4   m          1 m      + Vậy   1 m      .  Bài 2.   TS Lớp 10 Gia Lai 2017-2018  Tìm tất cả các giá trị của   m      2  (   2017)   2018 y   m   m   x                   .  Lời giải:  Hàm số đồng biến trên      khi và chỉ khi   0 a     2   2017   0, m   m             với mọi   m  2  1   8067   0,  2   4  m                            với mọi   m    Vậy khi với mọi giá trị của   m   thì hàm số luôn đồng biến trên      .  Bài 3.   TS Lớp 10 Hải Dương 2017-2018  Cho hai đường thẳng         : d   2 y   x   m          v à         : d    2  (   2)   3 y   m   x          .   T ì m   m          d   và      d    song song với nhau.  Lời giải:    2   1 1   2  1 2   3                                m m  m m  Loại   1 m      , chọn   1 m      .  Bài 4.   TS Lớp 10 Phú Thọ 2016-2017  Cho hàm số   (2   1)   4 y   m   x   m             ( m   là tham số) có đồ thị là đường thẳng ( d ).  a) Tìm   m    d ) đi qua điểm   ( 1;2) A      .  b) Tìm   m    d ) song song với đường thẳng (Δ) có phương trình:   5   1 y   x       .  c)   Chứng minh rằng khi   m   thay đổi thì đường thẳng ( d ) luôn đi qua một điểm cố định.  Lời giải:  a) Ta có ( d ) đi qua điểm   ( 1; 2) A      2   (2   1)( 1)   4 m   m                   .  2   3   1. m   m             ThS.Nguyễn Đăng Tuấn   Chuyên đề luyện thi vào lớp 10  Trang 2  b) Ta có   2   1   5  (   )//(   )   4   1  m  d   m                    2 m       .  c)   Giả sử   0   0 (   ;   ) M x   y   là điểm cố định của đường thẳng (d).  Khi đó ta có:  0   0 (2   1)   4 y   m   x   m   m                0   0   0 (2   1)   4   0 x   m   x   y   m                     0  0   0  2   1   0  4   0  x  x   y                       0  0  1  2  7  2  x  y                      Vậy khi   m   thay đổi đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định   1 7  ;  2 2  M                    .  Bài 5.   TS Lớp 10 Quãng Ninh 2016-2017  Tìm giá trị của   m      1 (   ) :   1 d   mx   y       và   2 (   ) :   6 d   x   my   m          cắt nhau tại một     M   thuộc đường thẳng   (   ) :   2   8. d   x   y      Lời giải:   1 ), (d 2 ) cắt nhau thì   2 1   1  1  m   m  m             luôn T/M với mọi   m   .  (   ) :   2   8   8   2 d   x   y   x   y                (1)  1  1  (   ) :   1   y  d   mx   y   m   x               2  6  (   ) :   6   1  x  d   x   my   m   m   y                      (2)  Do đó   2   2 1   6   1   6  1  y   x   y   x   x  x   y                       2   2  6   1   0 x   x   y                (3)  Thay (1) vào (3) ta được tung độ giao điểm   M   là nghiệm PT:             2   2  8 – 2      2   1 y   y   y          2  5      15   0 y   y         1   1 y       hoặc   2   6 y   

Chuyên đề hàm số và đồ thị ôn thi vào lớp 10 môn Toán – Nguyễn Đăng Tuấn

348  TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác    Cho tam giác ABC. Nếu        ABC   ACB   thì    AC   AB   và ngược lại.     Cho hai tam giác ABC và MNP có   = AB   MN   và   = AC   MP   . Khi đó ta có bất đẳng thức             BAC   NMP   BC   NP     Trong tam giác ABC ta có:  + Nếu      =   0 A   90   thì   =   + 2   2   2 BC   AB   AC  + Nếu      >   0 A   90   thì   >   + 2   2   2 BC   AB   AC  + Nếu      <   0 A   90   thì   <   + 2   2   2 BC   AB   AC     Với mọi tam giác ABC ta luôn có:        <   <   +        <   <   +        <   <   +    AB   AC   BC   AB   AC AC   BC   AB   AC   BC BC   AB   AC   BC   AB  Hệ quả:   Cho n điểm   1   2   3   n A ; A ; A ;...; A   . Khi đó ta luôn có    +   +   +    1   2   2   3   n   1   n   1   n A A   A A   ...   A   A   A A Dấu bằng xẩy ra n điểm   1   2   3   n A ; A ; A ;...; A   thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó.     Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Khi đó ta có + Nếu      =   0 A   90   thì   =   1 AM   BC 2  + Nếu      >   0 A   90   thì   <   1 AM   BC 2  + Nếu      <   0 A   90   thì   >   1 AM   BC 2  2. Quan hệ giữa đường xiên, đường vuông góc và hình chiếu của đường xiên.    Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.     Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:            THCS.TOANMATH.com   TÀI LI  U TOÁN H  C349     Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.  3. Các bất đẳng thức trong đường tròn.    Trong một đường tròn thì đường kính là dây lớn nhất.     Trong một đường tròn:     Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm   và ngược lại.     Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn   và ngược lại.     Bán kính của hai đường tròn là    R   r   , còn khoảng cách giữa tâm của chúng là d.          + R – r   d   R   r     Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bất kì nằm trong đường tròn. Khi đó ta  có        + R – d   MN   R   d  Với N là điểm bất kì trên đường tròn và d là khoảng cách từ M tới tâm đường tròn.     Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bất kì ngoài đường tròn. Khi đó ta có        + d – R   MN   d   R  Với N là điểm bất kì trên đường tròn và d là khoảng cách từ M tới tâm đường tròn.  4. Các bất đẳng thức về diện tích.    Với mọi tam giác ABC ta luôn có    ABC 1 S   AB.AC 2   , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông tại A     Với mọi tứ giác ABC ta luôn có    ABCD 1 S   AC.BD 2   , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi AC vuông góc với BD.     Với mọi tứ giác ABCD ta luôn có   (   )    + ABCD 1 S   AB.BC   AD.DC 2   , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi       =   =   0 B   D   90   .  5. Một số bất đẳng thức đại số thường dùng     Với x, y là các số thực dương , ta luôn có  (   )   (   ) +      +      +   2 2   2   2   2  x   y   2xy; 2 x   y   x   y   , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi   = x   y     Với x, y, z là các số thực dương , ta luôn có  THCS.TOANMATH.com   TÀI LI  U TOÁN H  C

Tuyển chọn các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học

289  BÀI TOÁN VỀ QUỸ TÍCH      TẬP HỢP ĐIỂM  I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa tập hợp điểm (quỹ tích)  Một hình H được gọi là tập hợp điểm của những điểm M thoả mãn tính chất T khi nó chứa và chỉ chứa tính chất T  2. Phương pháp chủ yếu giải bài toán tập hợp điểm    Bước 1: Tìm cách giải.  -   Xác định các yếu tố cố định và không đổi  -   Xác định các điều kiện của điểm M  -   Dự đoán tập hợp điểm  Bước 2: Trình bày lời giải     Phần thuận:   Chứng minh điểm M có tính chất T thuộc hình H     Giới hạn: Căn cứ vào các vị trí đặc biệt của điểm M, chứng tỏ điểm M chỉ thuộc vào hình H, hoặc một phần B của hình H(nếu được)     Phần đảo:   Chứng minh mọi điểm thuộc hình H (quỹ tích đã được giới hạn) có tính chất T. Thường làm như sau: + Lấy điểm M thuộc hình H (quỹ tích đã được giới hạn), giả sử tính chất T gồm n điều kiện.  + Dựng một hình để chứng minh M có tính chất T sao cho M thoả mãn    n   1    trong tính chất T và chứng minh M có thoả mãn điều kiện còn lại.     Kết luận: Tập hợp điểm M là hình H. Nêu rõ hình dạng và cách xác định hình H.  Chú ý:  -   Việc tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố cố định, không đổi với yếu tố chuyển động là khâu chủ yếu giúp ta giải quyết bài toán tập hợp điểm.  -   Nếu bài toán chỉ hỏi “ Điểm M chuyển động trên đường nào? ” thì ta chỉ trình bày phần thuận, phàn giới hạn và phàn kết luận mà không cần không chứng minh phần đảo.  -   Giải bài toán tập hợp điểm thường là tìm cách đưa về tập hợp điểm cơ bản đã học  THCS.TOANMATH.com   TÀI LI  U TOÁN H  C290  -    như phần thuận.  3. Một số tập hợp điểm cơ bản  a) Tập hợp điểm là đường trung trực hoặc một phần đường trung trực     Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm phân biệt A, B cố định là đường trung trực d của   b) Tập hợp điểm là tia phân giác     Tập hợp các điểm nằm trong góc xOy(khác góc bẹt) và cách đều hai cạnhcủa góc là tia phân giác của góc đó.  Hệ quả:   Tập hợp các điểm M cách đều hai đường thẳngcắt nhau xOx’ và yOy’ là bốn tia phân giác của bốn góc tạo thành, bốn tia này tạo thành hai đường thẳng vuông góc với nhau tại giao điểm O của hai đường thẳng đó.  c) Tập hợp điểm là        Tập hợp các điểm M cách đường thẳng h cho trước một khoảng bằng a không đổi là hai      Tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng song song cho trước là một đường thẳng song song và nằm cách đều hai đường thẳng đã cho.  d) Tập hợp điểm là đường tròn, một phần của đường tròn, cung chứa góc.  + Tập hợp các điểm M cách điểm O cho trước một khoảng không đổi r là đường tròn tâm O bán kính r.  + Tập hợp các điểm nhìn đoạn thẳng cố định AB dưới góc 90   0   là đường tròn đường kính AB. + Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc    AMB   có số đo không đổi là   (   )     <   < 0   0  0   180   là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB.  THCS.TOANMATH.com   TÀI LI  U TOÁN H  C

Bài toán về quỹ tích – tập hợp điểm

THCS.TOANMATH.com H    PHƯƠNG TRÌNH  B  C NH  T HAI    N Ki  n th  c c  n nh   H    phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ   phương trình có dạng:  '   '   '  ax   by   c a x   b y   c  +   =     +   =    . + C  p s    (   ) 0   0 ; x   y      phương trình nếu nó là nghiệm chung của   c    hai phương trình đó.  + H    có thể   có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số   nghiệm tùy theo vị  trí tương đối của hai đường thẳng biểu diễn nghiệm của hai phương trình.  +   Phương pháp giải hệ: Chúng ta thường dùng phương pháp thế   hoặ c  phương pháp cộng đại số      kh    bớt một ẩn,   từ      giải đượ c h  .  M  t s    ví d   Ví d    1.   Xác định các hệ   s    , a b   c    y   ax   b =   +     1)      thị   c    (   )   (   ) 1;3 ,   2; 4 A   B  2)      thị   c    bằng   4    và cắt trụ c  hoành tại điểm có hoành độ   bằng   2   .  L  i gi  i:  1)   Thay tọa độ   các điểm   , A B   vào phương trình của đường thẳng ta   3   3   1  4   2   4   2   3   3   2  a   b   b   a   a a   b   a   a   b   a  =   +   =      =                   =   +   =   +      =      =          . V    1,   2 a   b =   =   .  2)   Tương tự   ph    4   .0   4   2 0   2   2   4   4  a   b   b   a a   b   a   b   b     =   +   = −   =                   =   +   = −   +   = −         V    2,   4 a   b =   = −   .THCS.TOANMATH.com Ví d    2.   Giải các hệ   phương trình sau:  a)  1   1   3  3   2   1  x   y x   y     +   =          = −    b)  3 1   1 3   1 1   1  x   y x   y x   y x   y        =    +         +   = −    +      c) 1  2   1   2  1  2   2   1   1  x   x   y x   x   y        +   =                =       L  i gi  i:  a) Đặt   1   1 ; u   v x   y  =   =   . Theo đề   bài ra ta có hệ   phương trình:  (   )  3 3   5   5   1  3   2 3   1 3   2   1   3   2  v   u u   v   u   u u   u u   v   v   u   v  =     +   =   =   =                                = −    = −   =      =            . T       1   1; x   u  =   =   1   1  2  y   v  =   =   .  b) Đặt   ; 1   1  x   y u   v x   y  =   = +      . Theo bài ra ta có hệ   phương trình:  3   3   3   2 3   1   3   3   1   4   4   1  u   v   u   v   u   v   u u   v   v   v   v   v     =   =   +   =   +   =                            +   = −   +   +   = −   = −   = −             . T     2   2 2   2 1   1 1 1   2 1  x   x x   x x y   y   y   y y     =   = −     =   +  +                =      =      = −        .  c). Điều kiện   1  x   ,   0 2   x   y       >   . Đặt 2   1  1  a   x b   x   y     =        =       ta có hệ   phương trình mới

Chuyên đề hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ôn thi vào lớp 10

MỤC LỤC MỤC LỤC  Phần 1   MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN   1 1   PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍNH CHIA HẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2  A   Phương pháp phát hiện tính chia hết của một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 B   Phương pháp đưa về phương trình ước số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 C   Phương pháp biểu thị một ẩn theo ẩn còn lại rồi dùng tính chia hết. . . . . . . . . . . . . . . .3 D   Phương pháp xét số dư của từng vế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4  2   PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8  A   Phương pháp sắp thứ tự các ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 B   Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 C   Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 D   Phương pháp sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 10  3   PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17  A   Sử dụng tính chất về chia hết của số chính phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 B   Tạo ra bình phương đúng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 C   Tạo ra tổng các số chính phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 D   Xét các số chính phương liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 E   Sử dụng điều kiện biệt số      là số chính phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 F   Sử dụng tính chất:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 G   Sử dụng tính chất:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21  4   PHƯƠNG PHÁP LÙI VÔ HẠN, NGUYÊN TẮC CỰC HẠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Phần 2   MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN   32 1   PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2   PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI HAI ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  A   Cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn   ax   +   by   =   c   với nghiệm nguyên   ( a ,   b ,   c      Z )  36  3   PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HAI ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4   PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA HAI ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5   PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN VỚI HAI ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66   PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN CHỌN LỌC   /   Trang ii/215  6   PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC VỚI BA ẨN TRỞ LÊN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 7   PHƯƠNG TRÌNH PHÂN THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 8   PHƯƠNG TRÌNH MŨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 9   PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 10   HỆ PHƯƠNG TRÌNH VỚI NGHIỆM NGUYÊN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 11   TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM NGUYÊN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Phần 3   BÀI TOÁN ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN   125 1   BÀI TOÁN VỀ SỐ TỰ NHIÊN VÀ CÁC CHỮ SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2   BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHIA HẾT VÀ SỐ NGUYÊN TỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 3   BÀI TOÁN THỰC TẾ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Phần 4   PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN MANG TÊN CÁC NHÀ TOÁN HỌC   159 1   THUẬT TOÁN EUCLIDE VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM RIÊNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159  A   Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 B   Cách giải tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 C   Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 D   Cách tìm một nghiệm riêng của phương trình   ax   +   by   =   c   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161  2   PHƯƠNG TRÌNH PELL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166  A   Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 B   Phương trình Pell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166  3   PHƯƠNG TRÌNH PYTHAGORE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170  A   Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170  4   PHƯƠNG TRÌNH FERMAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175  A    B    C   Lịch sử về chứng minh định lí lớn Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 D   Chứng minh định lí lớn Fermat với n=4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177  5   PHƯƠNG TRÌNH DIONPHANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Phần 5   NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN CHƯA CÓ LỜI GIẢI   182 1   CÒN NHIỀU PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN CHƯA GIẢI ĐƯỢC . . . . . . . . . . . . . . . 182  A   Phương trình bậc ba với hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 B   Phương trình bậc bốn với hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 C   Phương trình bậc cao với hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183  p   LỚP TOÁN THẦY DŨNG - 04 QUÁCH VĂN TUẤN, P12, TÂN BÌNH    0906 804 540

Phương trình nghiệm nguyên chọn lọc

Nguyễn Công Lợi   TÀI LI  U   TOÁN H  C  2  CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG - BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY  A.   CÁC BÀI TOÁN VỀ BA ĐIỂM THẲNG HÀNG I. Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng  Phương pháp   1:   Sử dụng góc bù nhau  Nếu có 0  180     ABx   xBC   thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó.  Phương pháp 2:   Sử dụng tiên đề về đường thẳng song song  Tiên đề Ơclít: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Do đó, nếu qua điểm A ta kẻ được AB và AC cùng song song với một đường thẳng d nào đó thì A, B, C thẳng hàng.   một đườngthẳng d.  Phương pháp 3:   Sử dụng tiên đề về đường thẳng vuông góc   một đường thẳng d.  Phương pháp 4:   Sử dụng 2 tia trùng nhau hoặc đối nhau  Nếu hai tia MA, MB trùng nhau hoặc đối nhau thì 3 điểm M, A, B thẳng hàng.  Phương pháp 5:   Thêm điểm   chứng minh hai trong ba bộ ba điểm A, B, D; A, C, D; B, C, D thẳng hàng.  Phương pháp 6:   Phương pháp sử dụng hình đuy nhất     thẳng hàng với C thuộc hình H nào đó. Ta gọi C’ là giao điểm của AB với hình H và tìm cánh chứng minh hai điểm C và C’ trùng nhau.  Phương pháp 7:   Sử dụng định lý Menelaus  Cho tam giác ABC. Các điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên các đường thẳng BC , CA, AB sao  cho trong chúng hoặc không có điểm nào, hoặc có đúng 2 điểm thuộc các cạnh của tam giác ABC. Khi đó A’, B’, C’ thẳng hàng khi và chỉ khi '   '   ' .   .   1 '   '   '     A B   B C   C A A C   B A C B  Chứng minhNguyễn Công Lợi   TÀI LI  U   TOÁN H  C  3  + Trường hợp 1: Trong 3 điểm A’, B’, C’ có đúng 2 điểm thuộc cạnh tam gi{c ABC. Giả sử l| B’, C’  -     Ta có C'A   AM   B ' C   A ' C ; C ' B   A ' B   B ' A   AM        . Vậy A'B   B ' C   C ' A   AM   A ' C   A ' B .   .   .   .   1 A ' C   B ' A   C ' B   A ' B   AM   A ' C       -    [p dụng định lý Menelaus (phần thuận) ta có A''B   B ' C   C ' A .   .   1 A '' C   B ' A   C ' B      mà A'B   B ' C   C ' A .   .   1 A ' C   B ' A   C ' B     nên A''B   A ' B A '' C   A ' C     . Do B’, C’ lần lượt thuộc cạnh CA, AB nên A’’ nằm ngo|i cạnh BC. Vậy A''B   A ' B A '' C   A ' C     v| A’, A’’ nằm ngo|i cạnh BC suy ra A ''   A '    . Do đó A’, B’, C’ thẳng  hàng  + Trường hợp 2: Trong 3 điểm A’, B’, C’ không có điểm thuộc cạnh tam gi{c ABC được chứng minh tương tự.  II. Một số ví dụ minh họa Ví dụ   1.   Cho hình thang ABCD có AB//CD. Gọi O l| giao điểm của hai đường chéo AC v| BD. Gọi M, N, P lần lượt l| trung điểm của AB, BC, AD. Gọi E l| trung điểm của PN. Chứng minh rằng ba điểm M, O, E thẳng h|ng.  Phân tích tìm lời giải  Trên cơ sở hình vẽ v| c{c yếu tố trung điểm ta nhận thấy nếu gọi K l| trung điểm của CD thì tứ gi{c MNKP l| hình bình h|nh, khi đó ba điểm M, O, E thẳng h|ng. Để có  chéo nên ta thấy có c{c tam gi{c đồng dạng. Do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến chứng minh 0  KOM   180   .  Lời giải  Gọi K l| trung điểm của CD. Khi đó trong tam gi{c ABD có M v| P l| trung điểm của AB v| AD nên PM l| đường trung bình, do đó PM/ /BD và 1 PM   BD 2     .  Từ đó suy ra tứ gi{c MNKP l| hình bình  h|nh, do đó hai đường chéo NP v| MK cắt  nhau tại E hay ba điểm M, K, E thẳng h|ng .  Dễ thấy hai tam gi{c OAB v| OCD đồng  dạng nên ta được OA   AB OC   CD     . M| lại có E  O  P  K  N  M  D   C  B A

Các bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng – ba đường thẳng đồng quy

GV:   NGUY  N QU  C B  O  Zalo: 039.373.2038  Gmail:Tailie umontoan.com@Gmail.com  Website: Tailieumontoan.com  Facebook:www.facebook.com/baotoanthcs  H    PHƯƠNG TRÌNH   I S   Chuyên đê  H    PHƯƠNG TRÌNH ĐẠ I S   LƯU HÀNH NỘ I B NGUYỄN QUỐC BẢO  CÁC DẠNG TOÁN  & PHƯƠNG PHÁP GIẢI  HỆ PHƯƠNG TRÌNH     8,9   LƯU HÀNH NỘ I B 

Các dạng toán và phương pháp giải hệ phương trình đại số – Nguyễn Quốc Bảo

CHINH PH  C K    THI H  C SINH GI  I C  P HAI  A.   KiÕn thøc cÇn nhí  1. Định nghĩa phép chia.  Cho hai số nguyên a và b trong đó b      0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và r duy nhất sao cho   =   + a   bq   r , với   0   1. r   b          Trong đó a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư. Khi a chia cho b thì các số dư   {   } 0;1; 2;...;   1 r   b         Nếu   = r   0   thì   = a   bq , khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a. Ký hiệu:    a b   hay b a   . Vậy a chia hết cho b khi và chỉ khi tồn tại số nguyên q sao cho   = a   bq .     Nếu    r   0   , khi đó ta nói a chia b có số dư là r.  2. Một số tính chất cần nhớ     Tính chất 1. Mọi số nguyên khác 0 luôn chia hết cho chính nó.     Tính chất 2. Nếu   a b    và   b c    thì   . a c      Tính chất 3. Nếu   a b    và   b a    thì   . a   b = ±     Tính chất 4. Nếu    a.b m   và   (   )   = b, m   1   thì    a m   .     Tính chất 5. Nếu   a m    và   b m    thì   (   )   . a   b   m         Tính chất 6. Nếu   , a m   a n       và   (   ) ,   1 m n   =   thì   . a mn      Tính chất 7. Nếu   a b    và   c d    thì   . ac bd      Tính chất 8. Trong n số nguyên liên tiếp luôn tồn tại một số nguyên chia hết cho n.     Tính chất 9. Nếu       a   b   0   với a, b là các số tự nhiên thì   (   )   (   ) (   ) . n   n a   b   a   b   n   N             Tính chất 10. Nếu   +    a   b   0   với a, b, n là các số tự nhiên và n là số lẻ thì   (   )   (   ) . n   n a   b   a   b +   +   3.   Một số dấu hiệu chia hết      =   n   n   1   2   1   0 A   a a   ...a a a   , với    n   n   1   2   1   0 a ; a   ;...; a ; a ; a   là các chữ số. Khi đó ta có các dấu hiệu chia hết như sau:  CH       2   QUAN H    CHIA H  T  TRONG T  P H  P S   TỦ SÁCH CẤP 2|   30BỒI DƯỠNG HỌC SINH   GIỎI CẤP 2   |  CHUYÊN Đ    S    H  C  {   } 0   0 2   2   0; 2; 4;6;8 A   a   a                (   ) 0   1   1 3   ....   3. n   n A   a   a   a   a        +   +   +   +      1   0 4   4 A   a a          {   } 0   0 5   5   0;5 . A   a   a                2   1   0 8   8 A   a a a          (   ) 0   1   1 9   ....   9. n   n A   a   a   a   a        +   +   +   +      (   )   (   ) 0   2   1   3 11   ....   ...   11. A   a   a   a   a       +   +      +   +              1   0 25   25 A   a a          2   1   0 125   125 A   a a a          B. C      Dạng 1: Sử dụng tính chất trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n (n ≥ 1)  * Cơ sở   phương pháp:   Sử dụng các tính chất cơ bản như: tích hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2, tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 và 3 do đó chia hết cho 6. Chúng ta vận dụng linh hoạt các tính chất cơ bản này trong nhiều các bài toán về chia hết.  Bài toán 1.   Chứng minh rằng: a)   Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 b)   Tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 c)   Tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120  Hướng dẫn giải  a)   Trong 3 số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 2 nên tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 (do (2, 3) = 1)  b)   Hai số chẵn liên tiếp có dạng 2n và (2n + 2) với   n   Z  Do đó tích hai số nguyên liên tiếp có dạng 4n(n + 1) Do n và n + 1 là hai số nguyên liên tiếp nên   (   ) n n   1   2 +    Vì thế   (   ) 4n n   1   8 +     c)   Ta có 120 = 3.5.8 Do 5 số nguyên liên tiếp có 3 số liên tiếp nên theo ý a) ta có tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.  31 |   CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC

Các bài toán về quan hệ chia hết trong tập hợp số

GV:   NGUY  N QU  C B  O  Zalo: 039.373.2038  Gmail:Tailieumontoan.com@Gmail.com  Website: Tailieumontoan.com  Facebook:www.facebook.com/baotoanthcs  PHÂN D  NG  PHƯƠNG PHÁP  GI   H  C VÀ T    H  P  Chuyên     SỐ   H  C VÀ T    H  P  LƯU HÀNH NỘ I B NGUYỄN QUỐC BẢO  PHÂN DẠNG  & PHƯƠNG PHÁP GIẢI  SỐ HỌC VÀ TỔ HỢP     dưỡng học sinh giỏi các lớp   8, 9    

Phân dạng và phương pháp giải toán số học và tổ hợp – Nguyễn Quốc Bảo

CÁC BÀI TOÁN  TUY  N CH  N T    C        TUY  N SINH CHUY    MATHPIAD  S    H  C  PHAN QUANG Đ  T  NGUY  N   NH  T HUY      DƯƠNG QU  NH CHÂUL A TEX by Mathpiad  TUYỂN TẬP SỐ HỌC TRONG KÌ THI CHUYÊN TOÁN 2020      2021  Mathpiad      Tạp chí và tư liệu toán học  Phan Quang Đạt      Nguyễn Nhất Huy      Dương Quỳnh Châu

Các bài toán số học tuyển chọn từ các đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán

PHÂN LOẠI THEO CHƯƠNG, BÀI TỪ CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH 10 NĂM HỌC 2020      2021  1

Phân loại theo chương, bài các đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm học 2020 – 2021

207  CÁC BÀI TOÁN V    T    GIÁC VÀ ĐA GIÁC ĐẶ C S  C I. M  T S    KI  N TH  C V    T    GIÁC 1. T    giác       T    giác ABCD là hình g  m b  n th  n th  m trên m  ng th  ng.      giác l  i là t    giác luôn nằm trong mộ t n  a m  t ph    là đườ ng th  ng ch  a b  t kì c  a tam giác.  Tính ch      T  a m  t t    giác b  ng 3600 .     Góc kề   bù vớ i m  a t    giác g  a t    giác. T  a m  t t    giác b  ng 360 0  2. Hình thang      Hình thang là t    giác có hai cạnh đối song song.     Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.  Tính ch  t     N  u m  nh bên b  ng nhau, hai c  nh     b  ng nhau .     N  u m  ng nhau thì hai c  ng nhau.  Hình thang cân        Hình thang cân là hình thang có hai góc kề   m  ng nhau.    n hai c  nh bên b  ng nhau   và hai đường chéo bằ ng nhau .     D  u hi  u nh  n bi   +   Hình thang có hai góc kề   m  ng nhau là hình thang cân. +   Hình thang có hai đường chéo bằ ng nhau là hình thang cân.   ng trung bình c       ng trung bình c  n th  ng n  m hai c  nh c  a tam giác.      ng th  m m  t c  nh c  i c  nh th    hai thì   m c  nh th    ba.      ng trung bình c  i c  nh th    ba và bằ ng n  a c  nh     THCS.TOANMATH.com   TÀI LI  U TOÁN H  C208   ng trung bình c       ng trung bình c  n th  ng n  m hai c  nh bên c  a hình thang.      ng th  m m  t c  nh bên c   m c  nh bên th    hai.      ng trung bình c  i hai    ng n  a t   3. Hình bình hành     Hình bình hành là t    giác có các cặ p c   Tính ch    Trong hình bình hành:     Các c  i b  ng nhau.     Các góc đố i b  ng nhau.     Hai đường chéo cắ t nhau t  m c  a m  ng.  D  u hi  u nh  n bi      T    giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.     T    giác có các cạnh đố i b  ng nhau là hình bình hành.     T    giác có hai cạnh đối song song và bằ ng nhau là hình bình hành.     T    giác có hai đường chéo cắ t nhau t  m c  a m  ng là hình bình hành.  4. Hình ch    nh  t     Hình ch    nh  t là t    giác có bốn góc vuông.  Tính ch    Trong hình chữ   nh  t nhau t  m c  a m  i   ng.  D  u hi  u nh  n bi      T    giác có ba góc vuông là hình chữ   nh  t.     Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ   nh  t.     Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ   nh  t.     Hình bình hành có hai đường chéo bằ ng nhau là hình ch    nh  t .        Trong tam giác vuông, đường trung tuyế n    i c  n b  ng n  a c  n .     N  u m  n    i m  t c  nh b  ng n  a c  nh      5. Hình thoi     Hình thoi là mộ t t    giác có bố n c  nh b  ng nhau.  Tính ch    Trong hình thoi:     Hai đường chéo vuông góc vớ i nhau.  THCS.TOANMATH.com   TÀI LI  U TOÁN H  C

Các bài toán về tứ giác và đa giác đặc sắc

THCS.TOANMATH.com  B  T Đ  NG TH  C HÌNH H  C  I).   S    D  NG CÁC TÍNH CH  T HÌNH H  C ĐƠN GI  N.  1) B  t đ  ng th  c liên h    gi  a đ    dài các c  nh m  t tam giác. AB   AC   BC   AB   BC  Chú ý r  ng:  a).   V  i 3 đi  m ,   , A B C   b  t k    ta luôn có: AB   BC   AC   . D  u b  ng x  y  ra khi và ch    khi ,   , A B C   th  ng hàng và đi  m B   n  m gi  a hai đi  m , A C   .  b)   V  i 3 đi  m ,   , A B C   b  t k    ta luôn có: AB   AC   BC   . D  u b  ng   x  y  ra khi và ch    khi ,   , A B C   th  ng hàng và đi  m B   n  m gi  a hai đi  m , A C   .  c)   Cho hai đi  m , A B   n  m v    m  t phía đư  ng th  ng ( ) d   . Đi  m M   chuy  n    ng trên đư  ng th  ng ( ) d   .   G  i ' A   là đi  m đ  i x  ng v  i A   qua ( ) d   .   Ta có  k  t qu    sau:  + '   ' MA   MB   MA   MB   A B   . D  u b  ng x  y ra khi và ch    khi M   là  giao đi  m cu  ' A B   và đư  ng th  ng ( ) d   .( M   trùng v  i 0  M   ) M 1  M 0  A'  B  A  M  (d)THCS.TOANMATH.com  + MA   MB   AB   . D  u b  ng x  y ra khi và ch    khi M   là giao đi  m cu  AB  và đư  ng th  ng ( ) d   ( M   trùng v  i 1  M   ).  d)   Cho hai đi  m , A B   n  m v    hai phía đư  ng th  ng ( ) d   . Đi  m M   chuy  n    ng trên đư  ng th  ng ( ) d   . G  i ' A   là đi  m đ  i x  ng v  i A   qua ( ) d   .   Ta có  k  t qu    sau:  + MA   MB   AB   . D  u b  ng x  y ra khi và ch    khi M   là giao đi  m cu  AB  và đư  ng th  ng ( ) d   .( M   trùng v  i 0  M   )  + '   ' MA   MB   MA   MB   A B   . D  u b  ng x  y ra khi và ch    khi M   là  giao đi  m cu  ' A B   và đư  ng th  ng ( ) d   ( M   trùng v  i 1  M   ).  e)   Trong quá trình gi  i toán ta c  n lưu ý tính ch  t: Đư  ng vuông góc luôn  nh    hơn ho  c b  ng đư  ng xiên.  Trong hình v  : AH   AB M 1  M 0  A'  B  A  M  (d) B H  A

Chuyên đề bất đẳng thức và cực trị hình học ôn thi vào lớp 10

THCS.TOANMATH.com GI  I BÀI TOÁN B  NG CÁCH L  P   PHƯƠNG TRÌNH   - H    PHƯƠNG TRÌNH     gi  i bài toán b  ng cách l    phương trình ta thườ ng th  c hi   Bướ c 1:   Ch  n    n s    (nêu đơn vị   c  n n  n).  Bướ c 2:   Tính các đại lượng tron g bài toán theo gi    thi  n s    t     p  phương trình hoặ c h    phương trình.  Bướ c 3:   Gi  c h    phương trình vừa lậ p.  Bướ c 4:    i chi    l  i.  CÁC BÀI TOÁN CHUY  NG: Ki  n th  c c  n nh  : +   Quãng đườ ng = V  n t  c . Th   + V  n t  c t    l    ngh  i th    l    thuận với quãng đường đi được:  + N  c chi   c b  ng c   + N    phương   ti  ng cùng chi    hai địa điểm khác nhau là A và B, xe từ   A chuyển động nhanh hơn xe từ   B thì khi xe từ   A đuổi kịp xe  t    B ta luôn có hiệu quãng đường đi đượ c c    A với quãng đường đi  c c    B bằng quãng đườ ng A B  + Đố i   vớ i (C a nô, tàu xuồng) chuyển động trên dòng nước: Ta cần chú ý:  Khi đi xuôi dòng: Vậ n t  n t  n t  c.  Khi đi ngược dòng: Vậ n t  n t    - V  n t  c.THCS.TOANMATH.com  V  n t  c c  n t  c c  t   trôi tự   nhiên t heo dòng nướ c (V  n t  ng 0)  Ví d    1.   M  p t    A đến B cách nhau 24km. Khi đi từ   B trở  về   A người đó tăng vậ n t      th  n t  c c    A đến B.  L  i gi  i:     1 2  =   gi  . G  n t  c c    A đến B là   x   (km/h,   0 x   >   ). Th     A      là   24  x   (gi  ).     B về   A, người đó đi với vậ n t  c   4 x   +   (km/h).   Th    B về  A là   24 4 x   +   (gi  )  Do th       hơn thời gian đi là 30 phút nên ta có phương trình:  24   24   1 4   2 x   x     = +   . Gi  24   24   1 4   2 x   x     = +  2   12  4   192   0   16  x x   x   x  =     +      =      = −    i chi  n t  c c    A đến B là 12km/h.  Ví d    2:   T rên quãng đườ ng   AB   dài   210   m , tạ i cùng m  t th  m m  máy khở i hành t    A    n   B   và một ôt ô khở i hành t    B      A   . Sauk hi  g    n  n   B   và ô tô đi tiế p 2 gi    15 phút  n  n   A   . Biết rằng vậ n t  t ch  n t  c c    và ô tô.  (Trích đề   thi vào lớp 10 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nộ i   năm 2013 ).  L  i gi  i:

Chuyên đề giải toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình ôn thi vào lớp 10

THCS.TOANMATH.com B  NG TH  C Ph  n 1: B  NG TH  C CAUCHY (CÔ SI)  Cho các s    th  c không âm   , , a b c   khi đó ta có:  1.   2 a   b   ab +      . D  ng th  c x    khi   a   b =   . 2.   3 3 a   b   c   abc +   +      . D  ng th  c x  y   ra khi và c h    khi   a   b   c =   =   . Các b  ng th  c 1, 2 g  ng th    th  c không âm. (Còn g  ng th  ng th  c AM- GM)     vậ n d  ng t  t b  ng th  n n  m ch  c nh  ng k  t qu   s au:  1)   2   2 1   1   4   2   2  a   b   a   b   a   b  +       +   +   ;   (   )   2 2   2   x   y x   y a   b   a   b  + +      +  2)   2   2   2 1   1   1   9   3   3  a   b   c   a   b   c   a   b   c  +   +       +   +   +   +  3)   2   2   2   2   2 3   1   3 (   )   (   )   (   ) 4   4   4  a   ab   b   a   b   a   b   a   b +   +   =   +   +         +  4)   2   2   2   2   2 1   3   1 (   )   (   )   (   ) 4   4   4  a   ab   b   a   b   a   b   a   b    +   =   +   +         +  5)   (   )   2 2   2   2 3  a   b   c ab   bc   ca   a   b   c  +   + +   +         +   +  6)   (   )   2 2   2   2   x   y   z x   y   z a   b   c   a   b   c  +   + +   +      +   +  7)   (   )   3 3   3 4  a   b a   b   + +   THCS.TOANMATH.com  8)   (   )   (   )   2 2   4   4 2 4   4   2   2   4   4 (   )   (   ) 2(   )   2   4   8  a   b   a   b   a   b a   b   a   b   a   b      +   +   + +      +      =      +                 9) V  i   ,   0 a b      thì   1 (   ) 2  m   n   m   n   m   m a   b   a   b +   + +      +   (*)  Thật vậy BĐT cầ n ch  i (   )(   )(   )   0 n   n   m   m   n   n a   b   a   b   a   b +              (**) Tổng quát ta có   2   2  n n   n a   b   a   b +   +              Thật vậ y áp d    có  1   1 ...... 2   2   2   2  n n   n   n   n a   b   a   b   a   b   a   b         +   +   +   +                                            10) V  i   , ,   0 a b c      thì   1 (   )(   ) 3  m   n   m   n   m   n   m   m   m   n   n   n a   b   c   a   b   c   a   b   c +   +   + +   +      +   +   +   +   (*)  Thật vậy ta có bất đẳ ng th  c c  n ch   (   )(   )   (   )(   )   (   )(   )   0 m   m   n   n   m   m   n   n   m   m   n   n a   b   a   b   b   c   b   c   c   a   c   a       +         +            mà điề u  này là hiển nhiên đúng.  Tổ ng quát t a có:   3   3  n n   n   n a   b   c   a   b   c +   +   +   +               . Thật vậ y áp d   2 1   1   1   2   2   2 . 3   3   3   3   3  n   n   n   n   n   n   n   n   n a   b   c   a   b   c   a   b   c   a   b   c   a   b   c                           +   +   +   +   +   +   +   +   +   +                                                          ng b  ng th   3   3   3   3  n n   n   n n   n   n   n   n   n   n   n   n n a   b   b   a   b   c   a   b   c   a   b   c     +   +   +   +   +   +   +   +                     Tương tự   ta có:  1   1   1   1   1   1 3   3  n n   n   n a   b   c   a   b   c      +   +   +   +                  Do   1   1   1   9  a   b   c   a   b   c  +   +      +   +   suy ra   1   1   1   3 3  n n   n   n a   b   c   a   b   c      +   +          +   +       . 11)   1   1   2 1   1   1 a   b   ab  +    +   +   +   vớ i m  i   ,   1 a b   

Chuyên đề bất đẳng thức ôn thi vào lớp 10

CH       1 – RÚT G  N BI  U TH  C D  NG 1: RÚT G  N BI  U TH  C:  .................................................................................................................. 1  D  NG 2: CHO GIÁ TR    C  A   X   . TÍNH GIÁ TR    C  A BI  U TH  C   .................................................... 3  D    GI   ................................................................................................. 4  D    GI  I B    ..................................................................................... 10  D    L  N NH  T, GIÁ TR    NH    NH  T C  A BI  U TH  C   ............................... 16  D    P NH  N GIÁ TR    LÀ S    NGUYÊN ....................................................................... 24  D       PHƯƠNG TRÌNH   P   m =   CÓ NGHI    ................................................... 28  H    TH  NG BÀI T  P S    D  NG TRONG CH      ................................................................................ 30  D  NG 1: RÚT G  N BI  U TH  C:  Bướ c 1    nh c  u th  c:     1   (a   0) x   a   >    : Điều kiện xác đị nh là   2 x   0   x   0 x   a x   a                               1   (a   0) x   a   > +   : Điều kiệ n là   x   0      G    xu  n thêm m  u m  ng  này ta thường làm bước đặt điều kiện sau.  Bướ c 2   Phân tích mẫu thành tích, quy đồ ng m  u chung.  Bướ c 3   G  p t  n và k  t lu  n.  Ví d    1 : Rút gọn biể u th  c   x   2   x   3x   9 A   x   9 x   3   x   3  + =   +       +     L  i gi  i   n:   x   0,x   9     Có   x   2   x   3x   9 A   x   3   x   3   (   x   3)(   x   3)  + =   +    +         +  x(   x   3)   2   x(   x   3)   3x   9 (   x   3)(   x   3)   (   x   3)(   x   3)   (   x   3)(   x   3)     +   + =   +       +      +      +  x   3   x   2x   6   x   3x   9   3(   x   3)   3 (   x   3)(   x   3)   (   x   3)(   x   3)   x   3     +   +          =   =   =    +      +   + V  y   3 A   x   3  =   +   v  n   x   0,x   9      Ví d    2 : Rút gọn biể u th  c   x   1   2   9   x   3 A   x   2   x   3   x   x   6  +    =   +       +   +     1L  i gi  i  Có   x   x   6   x   3   x   2   x   6   x(   x   3)   2(   x   3)   (   x   2)(   x   3) +      =   +         =   +      +   =      +   n:   x   0,x   4     Có   x   1   2   9   x   3 A   x   2   x   3   (   x   2)(   x   3)  +    =   +       +      +  (   x   1)(   x   3)   2(   x   2)   9   x   3 (   x   2)(   x   3)   (   x   2)(   x   3)   (   x   2)(   x   3)  +   +       =   +       +      +      +  x   4   x   3   2   x   4   9   x   3   x   3   x   2 (   x   2)(   x   3)   (   x   2)(   x   3)  +   +   +         +      + =   =    +      +  (   x   1)(   x   2)   x   1 (   x   2)(   x   3)   x   3         =   =    +   + V  y:   x   1 A   x   3   =   +   v  n   x   0,x   4      Ví d    3 : Rút gọn biể u th  c   x   2   x   1   1 P   1:   x   x   1   x   x   1   x   1      +   + =   +               +   +         L  i gi  i  Có   x   2   x   1   1 P   1:   (   x   1)(x   x   1)   x   x   1   x   1      +   + =   +               +   +   +   +         x   2   (   x   1)(   x   1)   x   x   1 1:   (   x   1)(x   x   1)   (   x   1)(x   x   1)   (   x   1)(x   x   1)      +      +   +   + =   +               +   +      +   +      +   +      x   2   x   1   x   x   1   x   x 1:   1: (   x   1)(x   x   1)   (   x   1)(x   x   1)  +   +                =   =    +   +      +   +  (   x   1)(x   x   1)   x   x   1 1   x(   x   1)   x     +   +   +   + =      =    . Điều kiệ n   x   0,x   1 >      . V  y   x   x   1 P   x  +   + =   v  n   x   0,x   1 >      .  Chú ý: Câu này có phép chia phân thức nên đoạ n cu  n thêm   x      m  bước đặt điều kiện sau.  Ví d    4 : Rút gọn biể u th  c   a   3   a   2   a   a   1   1 P   : a   1 (   a   2)(   a   1)   a   1   a   1      +   +   +       =      +            +      +             L  i gi  i  Có   (   a   1)(   a   2)   a   a   a   1   a   1 P   : (   a   2)(   a   1)   (   a   1)(   a   1)   (   a   1)(   a   1)   (   a   1)(   a   1)            +   +   +      + =      +               +         +      +      +            a   1   a   a   a   1   a   1 : a   1   (   a   1)(   a   1)   (   a   1)(   a   1)      +   +      +   + =              +      +      2 (   a   1)   a   a   2   a : (   a   1)(   a   1)   (   a   1)(   a   1)   (   a   1)(   a   1)      +   + =           +      +      +      a   2   a   1   a   a   (   a   1)(   a   1)   a   1 (   a   1)(   a   1)   2   a   2   a  +   +            +   + =      =    +  2

8 chủ đề luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán

NHÓM: https://zalo.me/g/sidqta089   TUY  N T  P      TUY  N SINH VÀO 10     M   2022-2023   a ch    truy c  p click vào             https://zalo.me/g/sidqta089      Trang 1     Căn bậc hai  Câu 1.   (ts Hà T  nh 2022-2023) R  t g  n c  c bi  u th  c sau  a)   5   2   18 A   =     b)   1   1   1 : 3   3  B   x   x   x       =   +                v  i   0,   9 x   x >     L  i gi  i  a)   2  5   2   3 .2   5   2   3   2   2   2 A   =      =      =  b)   V  i   0,   9 x   x >     1   1   1 : 3   3  B   x   x   x       =   +               (   )   (   )   (   ) 3   . 3 3   3  x   x   x x   x   x   x            =   +                   (   )   (   ) 3   3 . 3 3   x   x x   x  =      =   Câu 2.   (ts Qu  ng Tr    2022-2023) B  ng các phép bi  n    i    i s  , hãy rút g  n các bi  u th  c sau: ; , v  i   .  L  i gi  i  Rút g  n các bi  u th  c: ; , v  i   . .  Câu 3.   (ts S  n La 2022-2023) Tìm    i  u ki  n xác    nh c  a bi  u th  c:   1   2 A   x   x =   +   +     L  i gi  i   KX  :   1   0   1   2 2   0   2  x   x   x x   x  +                                    V  y    i  u ki  n xác    nh c  a bi  u th  c   A   là   2 x     Câu 4.   (ts Tây Ninh 2022-2023) Tính giá tr    c  a bi  u th  c   (   )   (   )   (   )  2   2   2  P =   2   +   7   -   3  L  i gi  i  (   )   (   )   (   )  2   2   2  P =   2   +   7   -   3   = 2 + 7 – 3 = 6  Câu 5.   (ts Qu  ng Bình 2022-2023) Rút g  n các bi  u th  c sau:  a)   4   5   20   45 A   =   +      .  b)   2   1 1  a   a   a   a B   a   a     +   + =   +    (v  i   0   1 a <      ).  L  i gi  i  27   12 A   =     4  2  a B   a   a    =      +   0 a     27   12   9.3   4.3   3   3   2   3   3 A   =      =      =      =  4  2  a B   a   a    =      +   0 a     (   )   (   )   (   )  2   2 4   2   2   2  2   2  a   a a B   a   a   a   a   a   a a   a  +      =      =      =         =      +   =  +   +  1 Chuyên đ NHÓM: https://zalo.me/g/sidqta089   TUY  N T  P      TUY  N SINH VÀO 10     M   2022-2023   a ch    truy c  p click vào             https://zalo.me/g/sidqta089      Trang 2     a)   4   5   20   45 A   =   +      2   2  4   5   2 .5   3 .5 =   +      4   5   2   5   2   5 =   +      3 5 =   .  b)   2   1 1  a   a   a   a  B   a   a     +   + =   +    (v  i   0   1 a <      )  (   )   (   )  2  1   .   1  1  a   a   a a   a     +  =   +    1   1   2 a   a   a =      +   +   =   . V  y   2 B   a =   (v  i   0   1 a <      ).  Câu 6.   (ts Ngh    An 2022-2023)  a)   Tính   81   36   49 A   =      +   .  b)   Rút g  n bi  u th  c   1   1   .   2022 1  x   x  P   x   x        =                , v  i   0,   1 x   x >      .  L  i gi  i  a)   81   36   49 A   =      +  = 9 – 6 + 7 = 10  b)   V  i   0,   1 x   x >      ta có:   1   1   .   2022 1  x   x  P   x   x        =               (   )   (   )  (   ) 1 1   .   2022 1   1  x   x x   x x   x   x   x              =                   (   )  (   ) 1 1.   2022 1  x   x x   x x   x      + =     1  2022  =  Câu 7.   (ts Qu  ng Ninh 2022-2023)  a)   Th  c hi  n phép tính:   2   9   4   b)   Rút g  n bi  u th  c   1   1   2  :   1 1   1  A   x x   x       =   +           +       v  i   0 x      và   1 x     L  i gi  i  a)   Ta có   2   9   4   2.3   2   6   2   4    =      =      =  b)   1   1   2  :   1 1   1  A   x x   x       =   +           +       v  i   0 x      và   1 x     (   ) (   )   (   ) (   )  1   1   2  :   1 1   1   1   1  x   x A   x x   x   x   x       +           =   +            +      +       (   ) (   )  1   1   2   2   1 :   . 1   1   2 1   1  x   x   x   x   x  x   x x   x  +   +       =   =   =     +     Câu 8.   (ts H  i Phòng 2022-2023) Cho hai bi  u th  c:  (   ) 80   3   20   5 :   5 A   =      +   ;   1   2  1   1  x   x   x   x  B   x   x  +      + =   +     +   ( v  i   0,   1 x   x       ).  a)   Rút g  n các bi  u th  c   , A B   .

Phân dạng các bài toán trong đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (2022 – 2023)

GV:   NGUY  N QU  C B  O  Zalo: 039.373.2038  Gmail:Tailieumontoan.com@Gmail.com  Website: Tailieumontoan.com  Facebook:www.facebook.com/baotoanthcs  CH  NG MINH   NG TH  C VÀ TÍNH GIÁ TR   BI  U TH  C  Chuyên đê  CH  NG TH  C VÀ TÍNH GIÁ TR    BI  U TH  C  LƯU HÀNH N  NGUYỄN QUỐC BẢO  CÁC DẠNG TOÁN  VÀ   PHƯƠNG PHÁP GIẢI  CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC  &   TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC    LƯU HÀNH NỘ I B 

Chuyên đề chứng minh đẳng thức và tính giá trị biểu thức – Nguyễn Quốc Bảo

S     TRƯ     TÀI LI     MÔN TOÁN  Th    V   Website:   http://parksungbuyl.wordpress.com/  ----------   NGH     ----------  www.MATHVN.comTài li     V    1. RÚT G   A. PH    Bài   toán 1.1   Cho bi   2  1   1  x   x   x   x  P   x   x   x                     v    0,   1. x   x      a)   Rút g   b)   Tìm x khi   0. P     ( Trích đ      năm 2011)     L    a) V    0,   1 x   x       ta có                         3  1 1   1   1  1   1   1   1  x   x x   x   x   x   x   x   x  P   x   x   x   x   x   x                                                                 1   1   1  1  x   x   x   x   x   x   x   x  x   x                             2   . x   x   x   x   x               V    0,   1 x   x       thì   2   . P   x   x      b) V    0,   1 x   x       ta có      0   2   0   2   0 P   x   x   x   x                      0 0   0  4 2 2   0  x x   x  x x x                                                0,   1 x   x       ta th      V    0 P      thì   0,   4. x   x      NH        KHI GI   K      cho d           n           ra trong bài làm c     như l             g m   rút g        không đ      Trong bài toán trên thì               Khi làm ra k             Cách làm trên là đi        Ngoài câu h     x   như trên th      x   là m    b    P , gi        x       P   có  www.MATHVN.com  www.DeThiThuDaiHoc.com

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán – Vũ Văn Bắc

T TÀ  I L LI IỆ  U T TH HA AM M K KH HẢ  O T TO OÁ  N H HỌ  C P PH HỔ  TH HÔ  NG G _ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _  - -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- - C CH HU UY YÊ  N Đ   PH HƯ   NG G T TR RÌ  NH H –  BẤ  T P PH HƯ   NG G T TR RÌ  NH H T TR RU UN NG G H HỌ  C C CƠ  SỞ  BÀI TẬP TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (QUYỂN 1) T TR RU UN NG G Đ  OÀ  N Đ   NG G Đ  A –  QU UÂ  N Đ  OÀ  N B BỘ  BI IN NH H [ [T TÀ  I L LI IỆ  U P PH HỤ  C V VỤ  KỲ  TH HI I T TU UY YỂ  N S SI IN NH H L LỚ  P 1 10 0 T TH HP PT T, , L LỚ  P 1 10 0 H HỆ  TH HP PT T C CH HU UY YÊ  N] ] C CH HỦ    O: : G GI IẢ  I V VÀ  BI IỆ  N L LU UẬ  N P PH HƯ   NG G T TR RÌ  NH H B BẬ  C H HA AI I M MỘ  T Ẩ  N      G GI IẢ  I P PH HƯ   NG G T TR RÌ  NH H B BẬ  C H HA AI I B BẰ  NG G H HẰ  NG G Đ   NG G T TH HỨ  C. .      G GI IẢ  I P PH HƯ   NG G T TR RÌ  NH H B BẬ  C H HA AI I B BẰ  NG G C CÔ  NG G T TH HỨ  C N NG GH HI IỆ  M. .      G GI IẢ  I P PH HƯ   NG G T TR RÌ  NH H B BẬ  C H HA AI I B BẰ  NG G C CÔ  NG G T TH HỨ  C N NG GH HI IỆ  M T TH HU U G GỌ  N. .      G GI IẢ  I V VÀ  BI IỆ  N L LU UẬ  N H HỆ  PH HƯ   NG G T TR RÌ  NH H B BẬ  C H HA AI I C CH HỨ  A T TH HA AM M S SỐ  .      C CÂ  U H HỎ  I P PH HỤ  BÀ  I T TO OÁ  N G GI IẢ  I V VÀ  BI IỆ  N L LU UẬ  N. .         NH H L LÝ  VI IE ET TE E T TH HU UẬ  N –    NH H L LÝ  VI IE ET TE E Đ   O. .      B BÀ  I T TO OÁ  N N NH HI IỀ  U C CÁ  CH H G GI IẢ  I. . C CR RE EA AT TE ED D B BY Y G GI IA AN NG G S SƠ  N ( (F FA AC CE EB BO OO OK K) ); ; 0 01 16 63 33 32 27 75 53 32 20 0; ; G GA AC CM MA A1 14 43 31 19 98 88 8@ @G GM MA AI IL L. .C CO OM M ( (G GM MA AI IL L) ) T TH HÀ  NH H P PH HỐ  TH HÁ  I B BÌ  NH H –  MÙ  A T TH HU U 2 20 01 16 6BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (QUYỂN 1) _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM   TRUNG ĐOÀN ĐỐNG ĐA; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH  2    N No on n s sô  ng g V Vi iệ  t N Na am m c có  tr rở  nê  n t tư   i đ   p h ha ay y k kh hô  ng g, , d dâ  n t tộ  c V Vi iệ  t N Na am m c có  bư   c t tớ  i đ   i v vi in nh h q qu ua an ng g đ   sá  nh h v va ai i v vớ  i c cá  c c cư   ng g q qu uố  c n nă  m c ch hâ  u đ    c h ha ay y k kh hô  ng g, , c ch hí  nh h l là  nh hờ  mộ  t p ph hầ  n l lớ  n ở  cô  ng g h họ  c t tậ  p c củ  a c cá  c e em m   ( ( T Tr rí  ch h t th hư  Ch hủ  tị  ch h H Hồ  Ch hí  Mi in nh h ) ). .    .... .S Sú  ng g n nổ  ru un ng g t tr rờ  i g gi iậ  n d dữ  , N Ng gư   i l lê  n n nh hư  nư   c v vỡ  bờ  , N Nư   c V Vi iệ  t N Na am m t từ  tr ro on ng g m má  u l lử  a, , R Rũ  bù  n đ   ng g d dậ  y s sá  ng g l lò  a... ...       t n nư   c –  Ng gu uy yễ  n Đ   nh h T Th hi i . .

270 bài toán giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn – Lương Tuấn Đức

T TÀ  I L LI IỆ  U T TH HA AM M K KH HẢ  O T TO OÁ  N H HỌ  C P PH HỔ  TH HÔ  NG G _ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _  1   1   1  2   2   2  ,  .  a x   b y   c  a x   b y   c                - -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- - C CH HU UY YÊ  N Đ   H HỆ  PH HƯ   NG G T TR RÌ  NH H –  HỆ  BẤ  T P PH HƯ   NG G T TR RÌ  NH H –  HỆ  HỖ  N T TẠ  P BÀI TẬP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN CÁC LOẠI HỆ CHỨA THAM SỐ (QUYỂN 1) T TR RU UN NG G Đ  OÀ  N H HO OA A P PH HƯ   NG G Đ    QU UÂ  N Đ  OÀ  N T TĂ  NG G T TH HI IẾ  T G GI IÁ  P [ [T TÀ  I L LI IỆ  U P PH HỤ  C V VỤ  KỲ  TH HI I T TU UY YỂ  N S SI IN NH H L LỚ  P 1 10 0 T TH HP PT T, , L LỚ  P 1 10 0 H HỆ  TH HP PT T C CH HU UY YÊ  N] ] C CH HỦ    O: : G GI IẢ  I V VÀ  BI IỆ  N L LU UẬ  N H HỆ  PH HƯ   NG G T TR RÌ  NH H B BẬ  C N NH HẤ  T C CH HỨ  A T TH HA AM M S SỐ       G GI IẢ  I H HỆ  PH HƯ   NG G T TR RÌ  NH H B BẰ  NG G P PH HƯ   NG G P PH HÁ  P C CỘ  NG G Đ   I S SỐ  .      G GI IẢ  I H HỆ  PH HƯ   NG G T TR RÌ  NH H B BẰ  NG G P PH HƯ   NG G P PH HÁ  P T TH HA AY Y T TH HẾ  .      G GI IẢ  I V VÀ  BI IỆ  N L LU UẬ  N H HỆ  PH HƯ   NG G T TR RÌ  NH H B BẬ  C N NH HẤ  T C CH HỨ  A T TH HA AM M S SỐ  .      C CÂ  U H HỎ  I P PH HỤ  BÀ  I T TO OÁ  N G GI IẢ  I V VÀ  BI IỆ  N L LU UẬ  N. .      B BÀ  I T TO OÁ  N N NH HI IỀ  U C CÁ  CH H G GI IẢ  I. . C CR RE EA AT TE ED D B BY Y G GI IA AN NG G S SƠ  N ( (F FA AC CE EB BO OO OK K) ); ; G GA AC CM MA A1 14 43 31 19 98 88 8@ @G GM MA AI IL L. .C CO OM M ( (G GM MA AI IL L) ) T TH HÀ  NH H P PH HỐ  TH HÁ  I B BÌ  NH H –  MÙ  A T TH HU U 2 20 01 16 6BÀI TẬP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN CÁC LOẠI HỆ CHỨA THAM SỐ (QUYỂN 1) _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM   TRUNG ĐOÀN HOA PHƯỢNG ĐỎ; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP  2    N No on n s sô  ng g V Vi iệ  t N Na am m c có  tr rở  nê  n t tư   i đ   p h ha ay y k kh hô  ng g, , d dâ  n t tộ  c V Vi iệ  t N Na am m c có  bư   c t tớ  i đ   i v vi in nh h q qu ua an ng g đ   sá  nh h v va ai i v vớ  i c cá  c c cư   ng g q qu uố  c n nă  m c ch hâ  u đ    c h ha ay y k kh hô  ng g, , c ch hí  nh h l là  nh hờ  mộ  t p ph hầ  n l lớ  n ở  c cô  ng g h họ  c t tậ  p c củ  a c cá  c e em m   ( ( T Tr rí  ch h t th hư  Ch hủ  tị  ch h H Hồ  Ch hí  Mi in nh h ) ). .    .... . N Nă  m ấ  y t từ  mi iề  n x xu uô  i x xa a x xô  i, , C Cô  gi iá  o n ng gư   i K Ki in nh h l lê  n v vớ  i b bả  n l là  ng g, , D Dò  ng g K Kh hu uổ  i N Nậ  m n nh hẹ  re eo o r re eo o h há  t, , H Há  t c cù  ng g b bầ  y e em m b bé  va an ng g n nú  i r rừ  ng g, , C Cô  gi iá  o d dạ  y b bầ  y e em m t th hơ  ng gâ  y, , Y Yê  u n nú  i r rừ  ng g r ru uộ  ng g n nư   ng g q qu uê  hư   ng g ... ...”   C Cô  gi iá  o v về  bả  n N Nh hạ  c v và  lờ  i: : T Tr rư   ng g H Hù  ng g C Cư   ng g. .

108 bài toán giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất chứa tham số – Lương Tuấn Đức

T TÀ  I L LI IỆ  U T TH HA AM M K KH HẢ  O T TO OÁ  N H HỌ  C P PH HỔ  TH HÔ  NG G _ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _  1076 1077  x P   x        - -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- - C CH HU UY YÊ  N Đ   CĂ  N T TH HỨ  C BÀI TẬP BIẾN ĐỔI TỔNG HỢP CĂN THỨC (PHẦN 2) T TR RU UN NG G Đ  OÀ  N N NH HƯ  NG GU UY YỆ  T –  QU UÂ  N Đ  OÀ  N T TU UẦ  N D DU UY YÊ  N C CH HỦ    O: : B BI IẾ  N Đ   I N NÂ  NG G C CA AO O C CĂ  N T TH HỨ  C      B BI IẾ  N Đ   I Đ   N G GI IẢ  N B BI IỂ  U T TH HỨ  C C CH HỨ  A C CĂ  N B BẬ  C H HA AI I. .      R RÚ  T G GỌ  N B BI IỂ  U T TH HỨ  C C CH HỨ  A C CĂ  N T TỔ  NG G H HỢ  P. .      C CÁ  C C CÂ  U H HỎ  I P PH HỤ    I V VỚ  I B BÀ  I T TO OÁ  N T TỔ  NG G H HỢ  P. .      B BÀ  I T TO OÁ  N N NH HI IỀ  U C CÁ  CH H G GI IẢ  I. . C CR RE EA AT TE ED D B BY Y G GI IA AN NG G S SƠ  N ( (F FA AC CE EB BO OO OK K) ); ; 0 01 16 63 33 32 27 75 53 32 20 0 ( (T TE EL LL L) ); ; G GA AC CM MA A1 14 43 31 19 98 88 8@ @G GM MA AI IL L. .C CO OM M ( (G GM MA AI IL L) ) T TH HÀ  NH H P PH HỐ  TH HÁ  I B BÌ  NH H –  MÙ  A T TH HU U 2 20 01 16 6BÀI TẬP BIẾN ĐỔI TỔNG HỢP CĂN THỨC (PHẦN 2) _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM   TRUNG ĐOÀN NHƯ NGUYỆT – QUÂN ĐOÀN TUẦN DUYÊN  2    No on n s sô  ng g V Vi iệ  t N Na am m c có  tr rở  nê  n t tư   i đ   p h ha ay y k kh hô  ng g, , d dâ  n t tộ  c V Vi iệ  t N Na am m c có  bư   c t tớ  i đ   i v vi in nh h q qu ua an ng g đ   sá  nh h v va ai i v vớ  i c cá  c c cư   ng g q qu uố  c n nă  m c ch hâ  u đ    c h ha ay y k kh hô  ng g, , c ch hí  nh h l là  nh hờ  mộ  t p ph hầ  n l lớ  n ở  c cô  ng g h họ  c t tậ  p c củ  a c cá  c e em m”  ( (T Tr rí  ch h t th hư  Ch hủ  tị  ch h H Hồ  Ch hí  Mi in nh h) ). .    Nà  o p ph hi i n nh ha an nh h, , p ph hi i n nh ha an nh h, , G Gi ió  re eo o t tr rê  n l lư  ng g đ   i, , H Hư   ng g l lú  a b bá  t n ng gá  t t tr rê  n đ   ng g x xa an nh h, , L Lờ  i c ca a e em m b ba ay y t tr rê  n t tr rờ  i m mâ  y, , N Nắ  ng g q qu uê  hư   ng g b bừ  ng g s sa ay y, , B Bư   c c ch hâ  n n nh hữ  ng g n ng gà  y t th hơ   u, , T Th he eo o e em m v và  o t tr ro on ng g k ký   c, , L Lớ  n l lê  n v vớ  i c cù  ng g t th hờ  i g gi ia an n, , N Nà  o p ph hi i n nh ha an nh h n nh ha an nh h l lê  n n nà  o, , N Nà  o p ph hi i n nh ha an nh h n nh ha an nh h l lê  n n nà  o, , H Hâ  y h hâ  y... ...H Hâ  y h hâ  y... ...”   ( ( L Lờ  i b bà  i h há  t t tr ro on ng g p ph hi im m H Ho oa a c củ  a t tr rờ  i –  G Gi iả  i B Bô  ng g s se en n B Bạ  c; ; L Li iê  n h ho oa an n p ph hi im m V Vi iệ  t N Na am m; ; L Lầ  n t th hứ  11 1; ; N Nă  m 1 19 99 96 6    o d di iễ  n Đ   Mi in nh h T Tu uấ  n ) ) . .

238 bài toán biến đổi căn thức nâng cao – Lương Tuấn Đức

T TÀ  I L LI IỆ  U T TH HA AM M K KH HẢ  O T TO OÁ  N H HỌ  C P PH HỔ  TH HÔ  NG G _ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _  - -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- - C CH HU UY YÊ  N Đ   HÀ  M S SỐ  VÀ    TH HỊ  (H HỆ  TR RU UN NG G H HỌ  C C CƠ  SỞ  ) BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) T TR RU UN NG G Đ  OÀ  N N NG GỌ  C H HỒ  I –  QU UÂ  N Đ  OÀ  N H HẢ  I Q QU UÂ  N [ [T TÀ  I L LI IỆ  U P PH HỤ  C V VỤ  KỲ  TH HI I T TU UY YỂ  N S SI IN NH H L LỚ  P 1 10 0 T TH HP PT T, , L LỚ  P 1 10 0 H HỆ  TH HP PT T C CH HU UY YÊ  N] ] C CH HỦ    O: : P PA AR RA AB BO OL LA A Đ   N G GI IẢ  N V VÀ  CÁ  C V VẤ  N Đ   LI IÊ  N Q QU UA AN N. .      S SỰ  BI IẾ  N T TH HI IÊ  N C CỦ  A H HÀ  M S SỐ  BẬ  C H HA AI I. .      V VẼ    TH HỊ  HÀ  M S SỐ  BẬ  C H HA AI I Đ   N G GI IẢ  N ( (P PA AR RA AB BO OL LA A Đ   N G GI IẢ  N) ). .      B BI IỆ  N L LU UẬ  N V VỊ  TR RÍ  TƯ   NG G Đ   I G GI IỮ  A Đ    NG G T TH HẲ  NG G V VÀ  PA AR RA AB BO OL LA A. .      M MỘ  T S SỐ  BÀ  I T TO OÁ  N G GẮ  N K KẾ  T Y YẾ  U T TỐ  HÌ  NH H H HỌ  C. .      B BÀ  I T TO OÁ  N N NH HI IỀ  U C CÁ  CH H G GI IẢ  I. . C CR RE EA AT TE ED D B BY Y G GI IA AN NG G S SƠ  N ( (F FA AC CE EB BO OO OK K) ); ; G GA AC CM MA A1 14 43 31 19 98 88 8@ @G GM MA AI IL L. .C CO OM M ( (G GM MA AI IL L) ) T TH HÀ  NH H P PH HỐ  TH HÁ  I B BÌ  NH H –  MÙ  A T TH HU U 2 20 01 15 5BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM   TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN  2    N No on n s sô  ng g V Vi iệ  t N Na am m c có  tr rở  nê  n t tư   i đ   p h ha ay y k kh hô  ng g, , d dâ  n t tộ  c V Vi iệ  t N Na am m c có  bư   c t tớ  i đ   i v vi in nh h q qu ua an ng g đ   sá  nh h v va ai i v vớ  i c cá  c c cư   ng g q qu uố  c n nă  m c ch hâ  u đ    c h ha ay y k kh hô  ng g, , c ch hí  nh h l là  nh hờ  mộ  t p ph hầ  n l lớ  n ở  c cô  ng g h họ  c t tậ  p c củ  a c cá  c e em m   ( ( T Tr rí  ch h t th hư  Ch hủ  tị  ch h H Hồ  Ch hí  Mi in nh h ) ). .       H Hị  ch h r ra a t tr rậ  n –  Qu ua an ng g T Tr ru un ng g H Ho oà  ng g đ     i p ph há  Th ha an nh h q qu uâ  n; ; 1 17 78 89 9. .

Tài liệu Toán ôn thi vào lớp 10